Introdução ao cálculo

Divisão de polinômios

1º Caso

Polinômio dividido por monômio

2º Caso
Polinômio dividido por binômio

Função polinomial do 2º grau

Funções cuja lei de formação pode ser escrita na forma y = ax² + bx + c, sendo a, b, e c números reais e a diferente de zero, têm como gráfico uma parábola. É o caso das funções:
• y = x² + 2x + 1              (a = 1, b = 2 e c = -1)
• y = - 2x² + 4                  (a = -2, b = 0 e c = 4)

Gráfico da função do 2º grau

Função polinomial do 1º grau

Funções cuja lei de formação pode ser escrita na forma y = ax + b, sendo a e b números reais e a diferente de zero, têm como gráfico uma reta. É o caso das funções:

• y = 2x             (a = 2 e b = 0)
• y = -3x + 1     (a = -3 e b = 1)
• y= x² + 2x + 6  (a= 1, b= 2 e c= 6)

Gráfico da função do 1º grau

                                                                     

   

Estudo do domínio

Sabemos que o domínio D, é o conjunto de todos os valores possíveis da variável independente x, porde ser dado explicita ou implicitamente.
Assim:

• Se é dado apenas f(x)=2x-5, sem explicitar o domínio D, esta implícito que x pode ser qualquer número real, ou seja, D = |R.
• Se é dado f(x) = 2x - 5, com 1 =< x =< 10, esta explícito que o domínio da função dada consiste em todos os números reais entre 1 e 10, incluindo-os ou seja, D = {x pertence |R| 1 =< x =<10}.
• Se é dado apenas f(x) =  2x - 3 , sem explicitar o domínio D, está implícito que x pode ser                                                    x - 2   qualquer número real, com exceção de 2, pois, se x = 2, teremos:                                      
• f(2) =  2(2) - 3  =  1  e -1  não é definido. Logo: D = {x pertence |R x diferente 2}.
•               2 - 2        0       0                                                               

Domínio e Imagem de uma função

Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}vamos considerar a função f:A--> B definida por y = x + 1 ou f(x) = x + 1.
Definições:

• O conjunto A é denominado domínio da função, que indicamos por D.
• O conjunto {1, 2, 3}, é denominado conjunto imagem da função, que indicamos por: Im = {1, 2, 3}.
• O conjunto B, tal que Im C B, é denominado contradomínio da função.

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {-3, -1, 0, 2} e B = {-1, 0, 1, 2, 3,4}, determinar o conjunto imagem da função f: A --> B definida por f(x) = x + 2.

Resolução: 

f(-3) = (-3) + 2 = -1

f(-1) = (-1) + 2 = 1

f(0) = (0) + 2 = 2

f(2) = (2) + 2 = 4

Observando o Diagrama de Veen, temos:

Im = {-1, 1, 2, 4}

Estudo do domínio de uma função

Função

A ideia de função

A medida p do perímetro de um quadrado é dada em função da medida l do lado.
A relação p = 4 * l chama-se lei de formação ou fórmula matemática desta função.

Notamos que, a medida p do perímetro depende da medida l do lado do quadrado, pois quando a medida do lado (l) aumenta, também aumenta a medida do perímetro (p): MOVA o Objeto de Aprendizagem e observe que aumentando o lado do quadrado, também aumenta o perímetro desse polígono regular.

Gráfico função exponencial decrescente

Represente graficamente a função:
f(x) = (1/2)^x    ou y = (1/2)^x

Características
D = |R
Im = |R+*
f é decrescente quando 0 <a <1
a curva passa pelo ponto (0,1)

Função exponencial

A função f: |R -> |R dada por f(x) = a^x (com a diferente de 1 e a>0) é denominada função exponencial de base a e definida para todo x real.
Exemplos:
f(x) = 2^x                                                       f(x) = (1/3)^x                                          f(x) =3<sup>x

Observações:
A exigência de que a base a seja positiva, para que se possa definir a função f(x) =</sup> a^x, é a seguinte:

Suponha a = -2  e x= 1/2
Daí teríamos: f(x)= a^x  = (-2)¹/²  = √-2, que não é número real.

Gráfico no plano cartesiano

Função crescente

Exemplos:
Vamos representar no plano cartesiano as funções:
f(x) =  2^x    ou y =  2^x

Características:
D = |R
Im = |R*x
f é crescente, quando a > 1
a curva passa pelo ponto (0,1)

Á seguir: Função exponencial decrescente

Equação exponencial

Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente.
Exemplos:

Para resolver uma equação exponencial, devemos trnasformar a equação dada em igualdade de mesma base, ou seja,  devemos obter potências de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação.
Exemplos:
1) Resolva a equação:

Igualando os expoentes: x=8


2) Resolva a equação:
Igualando os expoentes: 2x = 5 -> x= 5/2


3) Resolver a equação:

Lembre que: 1/16 = 1/2⁴ -> 1/2⁴ = 2⁻⁴

x=-4


4) Resolver a equação:

Divisão de polinômio por monômio

Multiplicação de polinômios

Exemplo

Multiplique o polinômio (2x² + x -1 ) pelo (x² + 2x + 4):

Neste exemplo, observe que cada termo algébrico do primeiro polinômio, multiplicou todos os três termos do segundo polinômio.

Adição e subração de polinômios

Observe que no primeiro exemplo você esta somando os binômios,

e no segundo caso você esta subtraindo os binômios semelhelhantes.

Racionalização de denominadores

Observem que primeiro é necessário entender que seja o FATOR RACIONALIZANTE...

Frações algébricas

Adição e subtração

1) Para denominadores diferentes, o mmc será o: Produto entre fatores comuns e não comuns com maior expoente.

Devemos lembrar que, uma vez "achado" o mmc, devemos dividir o mmc encontrado pelo denominadores das frações envolvidas, um-a-um, para em seguida mutiplicar o quociente obtido pelo numerador de cada fração envolvida na operação.

Esse algotitmo também, vale para subtração de frações.

Conjuntos numéricos

Conjuntos são uniões de elementos que compartilham das mesmas características. No caso dos números, essas uniões são chamadas de conjuntos numéricos. São eles: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.

Diagrama de Venn

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras diz: "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos."

Radiciação

Radiciação é a operação matemática inversa à potenciação. Enquanto a potenciação é uma multiplicação na qual todos os fatores são iguais (x³=x.x.x), a radiciação procura descobrir que fatores são esses(x³ = ³√x), dando o resultado dessa multiplicação.

Regras e propriedades dos radicais

Raiz enésima

Expoente inteiro negativo

Expoente fracionário racional

Multiplicação de radicais com mesmo indíce

Divisão de radicais com mesmo indíce

Potência de radical

Radical de radical

Divisão de expoentes com indíces iguais

Potenciação

Expoente  

• Quando o expoente for par, a potência é um número positivo;
• Quando o expoente for ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base.

Convenções:

• Todo número inteiro elevado a 1 é igual a ele mesmo.
• Todo número inteiro elevado a zero é igual a 1.

Importante:

• Para que a base seja negativa, ela deve estar entre parênteses.

Propriedades das potências

• Produto de potências de mesma base: somam-se os expoentes.
• Divisão de potências de mesma base: subtraem-se os expoentes.
• Potência de potência: multiplicam-se os expoentes.
• Potência de um produto: os fatores, são elevados ao mesmo expoente.
• Potencia de um quociente: os fatores, são elevados ao mesmo expoente.

Verifique seus conhecimentos: Potências e radicais